球:“那么一个正方形有几条边?有几个角?”
我:“四条边和四个角。”
球:“现在,发挥一下你的想象力,想象平面国中的一个正方形平行向上移动。”
我:“什么?您是说向北移动吗?”
球:“不,不是向北移动。向上移动,移到平面国以外去。
?好吧,现在我要逐渐回到平面国中来了,你将看到我的截面变得越来越大。”
任何一位空间国的读者都能轻松地理解,这位神秘的访客不仅没有说谎,而且说的都是浅显易懂的事实。但是,对我来说,尽管精通平面国的数学,我还是很难理解他的话。就连空间国的小孩也能看懂下面的这几幅粗糙的示意图吧。这三幅图描述了球在上升过程中所处的三个位置。在我看来,或者说在任何一个平面国居民看来,这个球的样子始终是一个圆:一开始圆的面积最大,然后逐渐变小,最后变得非常小,几乎成了一个点。但是,当时的我只能看到眼前的事实,却根本搞不清现象背后的原理。我只能理解到,这个圆将自己越变越小,直至完全消失,然后他又再次出现在我面前,并且快速地越变越大。
变回原始大小以后,这个圆深深地叹了一口气,因为他从我的沉默中猜到,我根本没有理解他的意思。事实上,当时我已经开始相信,此人根本不是一个圆——他一定是一个特别机灵、会变戏法的骗徒,否则那些古老的迷信传说岂不就是真的了?毕竟,世界上确实有魔术师和巫师之类的人。
陌生人良久不语,然后他喃喃地对自己说:“现在只剩最后一个法子了,如果这个法子再不奏效,我就只能采取行动了。我必须试试类比的办法。”接着又是一阵更久的沉默,然后陌生人再次开口说起话来。
球:“告诉我,数学家先生。如果一个点向北面移动,并留下一条发光的轨迹,你管这条轨迹叫作什么呢?”
“如果这个正方形向北移动,那么正方形中靠南边的点就会经过靠北边的点原来占据的地方。我不是这个意思。
“既然你就是一个正方形,我们就以你为例来说明吧。我的意思是说,你身体上的每一个点——按照你的说法,就
我:“一条线段。”
球:“那么一条线段有几个端点呢?”
我:“两个。”
球:“现在,假设这条南北向的线段沿东西方向平行移动,于是线段上的每个点都会在东西方向上留下一条直线形的轨迹。你怎么称呼由此形成的图形呢?我们假设线段移动的距离与线段的原始长度相等——你把这个图形叫作什么?”
我:“一个正方形。”