１９３６年，格哈德·根茨恩提出
种对算术致性
证明，可是要做出证明，他需要采用种有争议方法，即人们所知道超限归纳法。这种方法不属于正常证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术致性。根茨恩所做是使用可疑方法来证明显而易见东西。
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卡拉汉从贝克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她论文，似乎她触及到某种本质、而又令人不安东西。他想知道她是否打算发表她形式体系，因为这个形式体系虽然确包含他们两人都无法发现错误，但数学界肯定会有人能够发现。
雷内几乎没有听见他说话，只是嘀咕今后她会打电话联系他，近来，她与人讲话很困难，尤其是自从那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里同事们都尽量避开她。她显得心不在焉，前天夜里她做个噩梦，梦见她发现种形式体系，可以
”雷内道，“
已经推翻大半个数学：这门学问全都没意义。”
她焦躁起来，几乎快发疯。卡尔小心翼翼地选择着字眼，“你怎
能这说？数学仍然有作用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃。”
“这是因为他们使用数学纯粹是骗人把戏。是种口诀式小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十天样。”
“不样。”
“为什不样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类概念，现在，就连该死整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，加始终等于二，但在纸上可以给你无穷多答案，这些答案全都同样有效，这意味着它们全都同样无效。可以写出你见过最优美定理，但它却不过是个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说切数学都是同义反复。他们错：数学是自相矛盾。”
卡尔试试另种方式。“等下。刚才你提到虚数这类想像出来概念，大家不也样接受吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可是现在它们成数学基础概念。情况完全是样呀。”
“不样。当时解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增添新内容，而形式系统却是给已经存在在那里东西下定义。”
“但是，如果你改变语境，从不同角度探索——”
她翻个白眼。“不可能！这个体系是从和加法样明白无误公理得出结果，无法绕过。可以担保。”
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